Uma orbifold é uma generalização do conceito de variedade diferenciável (um espaço topológico que se parece localmente com o espaço euclideano $n$-dimensional). Um padrão no plano é um padrão $2$-dimensional que tem simetria por translações verticais e horizontais. Quantos desses padrões existem? Neste seminário iremos responder a essa pergunta através do estudo de um certo conjunto de orbifolds e da sua relação com os padrões no plano. Pelo caminho veremos alguns resultados interessantes sobre orbifolds.
Lógica Temporal é a lógica que tem em consideração o ontem, o hoje e o amanhã. O que é? Para que serve? Como aplicá-la a problemas práticos... Vem descobrir!
Imagine-se um cenário em que um indivíduo entra num casino pretendendo alcançar uma determinada fortuna. Será mais eficaz aplicar alguma estratégia óptima? Ou o melhor será ser o mais ousado possível apostando o máximo que for permitido? Várias hipóteses e estratégias têm sido propostas para a resolução deste problema, sendo o objectivo desta apresentação ilustar algumas destas e perceber em que casos deverão ser escolhidas estratégias optimais ou optar por um bold play.
Encontrar progressões aritméticas em conjuntos aditivos é um dos problemas mais ricos da combinatória aditiva. Provavelmente o teorema mais famoso nessa área seja o Teorema de Green-Tao (que garante a existência de progressões aritméticas arbitrariamente longas constituidas apenas por primos). Iremos explorar as técnicas utilizadas neste tipo de problemas através da sua aplicação ao teorema de Roth, utilizando ferramentas de áreas diversas como análise de Fourier, teoria de grafos ou teoria ergódica.
Desenvolvida em meados do século XX por Laurent Schwartz, a teoria das distribuições tem como objectivo generalizar técnicas frequentemente utilizadas no estudo de equações diferenciais, assim como formalizar certos conceitos fundamentais tais como o delta de Dirac. Curiosamente, esta generalização tem tendência a simplificar as teorias clássicas. Serão então apresentados o conceito de distribuição e alguns dos resultados mais simples da teoria.
A topologia clássica tem como objecto de estudo os espaços topológicos e a sua classificação. Para isso, foram ao longo dos tempos desenvolvidas uma panóplia de técnicas que permitem descrever propriedades parciais. Neste seminário, apresentamos o conceito de feixe definido sobre um espaço topológico e o nascimento de um novo objecto – o Topos do Espaço – que surpreendentemente permite estudar o espaço na totalidade e extender a topologia clássica e algumas das suas técnicas fundamentais para contextos e mundos novos.
We will begin by answering the question, “How do we talk about random things by using mathematics?” After that we will answer the question “How do use mathematics to apply new information to our predictions for the future?” Then we will finish by answering the question “How can we apply calculus to functions that have random values?” The talk is meant as an informal introduction to ideas in stochastic calculus.
Frames are systems that provide robust, stable and usually non-unique representations of vectors. They have been a focus of research in the last two decades in applications where redundancy plays a vital and useful role, e.g. image processing and wireless communications. We will show why stable sampling is tightly related to frames and present a new result about Landau’s type necessary conditions for Fourier-Bessel Frames.
Neste seminário vamos apresentar um teorema clássico de Teoria de Números, o teorema de Dirichlet, que diz que dados naturais $A$ e $B$ coprimos existem infinitos primos da forma $A n+B$. A demonstração que iremos mostrar utiliza vários teoremas de análise complexa sendo por isso considerado um resultados de Teoria Analítica de Números. O Teorema de Dirichlet é um dos primeiros resultados desta área.
O que é um passeio aleatório? Como descrever o movimento de uma pessoa movendo-se aleatoriamente no espaço?
Neste Seminário Diagonal estudaremos um problema proposto e resolvido por George Pólya (um passeio aleatório em ) assim como outros passeios aleatórios em que podem ser estudados de forma similar.
Já desde a Antiguidade que as simetrias, as parecenças com outros e a procura de propriedades “especiais” fazem parte do estudo de vários tipos de objectos, entre os quais as pavimentações. No caso das pavimentações periódicas, muito já foi dito, escrito e provado. Abre-se assim o estudo para pavimentações com outras propriedades, algumas ainda mais interessantes do que as gozadas pelas periódicas. É nesse contexto que se insere este seminário, em que tentaremos estudar as Pavimentações de Penrose.
Neste seminário, apresentamos algumas definições e resultados básicos da teoria de representações lineares de grupos finitos, bem como a sua relação com a teoria dos caracteres. No fim, mencionamos a generalização destes resultados para grupos compactos, apresentando como exemplo a relação entre séries de Fourier e os caracteres de $S^1$. Uma representação linear de um grupo $G$ consiste em associar a cada elemento de $G$ uma matriz invertível, de forma compatível com a estrutura do grupo. A cada representação associamos uma função: o seu carácter. O estudo destas funções fornece resultados que permitem identificar todas as possíveis representações de um dado grupo. Em geral, a teoria de representações é importante em várias áreas da Matemática, tendo ainda aplicações à Física.
Desde Descartes que se sabe que equações polinomiais em $x$, $y$ tais como $x^2+y^2=1$ representam curvas no plano. É portanto natural notar que para $x$, $y$ complexos estas equações representam superfícies em $\mathbb{C}^2=\mathbb{R}^4$. Que superfícies são estas? Neste seminário veremos como certos polinómios homogéneos definem superfícies compactas e orientáveis no plano projectivo complexo, e como estas podem ser caracterizadas topologicamente.
Já se sabia que o produto de algébricos é algébrico. Apesar desta coincidência, um número algébrico não é necessariamente zero ou um, é sim uma raiz de um polinómio de coeficientes racionais. E desta simples definição podemos ainda deduzir que o conjunto dos números algébricos é um subcorpo de $\mathbb{C}$. Mas há mais!...
Nesta conversa, para além de conhecer as propriedades fundamentais dos números algébricos, iremos ainda classificar os ideais e as unidades dos chamados números inteiros algébricos, um subconjunto muito interessante dos números algébricos.
Segundo o teorema de Van der Waerden para toda a coloração finita dos naturais existem progressões aritméticas monocromáticas arbitrariamente longas. O que acontece se quisermos que as razões destas progressões aritméticas pertençam a um certo conjunto $S$? Para que conjuntos $S$ se verifica o análogo do teorema de Van der Waerden? Os conjuntos com esta propriedade dizem-se “large” e iremos descrever algumas das suas propriedades e noções relacionadas neste seminário.