As curvas elípticas são objectos matemáticos definidos por uma equação da forma $y^2=x^3+A x+B$ sobre um corpo. Têm propriedades muito importantes, entre as quais o facto de nelas se poder definir uma soma de pontos. Os toros são objectos matemáticos igualmente interessantes, com forma de donut, e onde também podemos definir uma soma de pontos. Surpreendemente, há uma estreita relação entre estes dois conceitos: quando uma curva elíptica é definida sobre os complexos, então é isomorfa a um toro. Nesta apresentação vamos construir uma correspondência entre uma curva elíptica e um toro, e mostrar que esta correspondência preserva a estrutura de soma de pontos.

Neste seminário, começaremos por fazer uma breve introdução à Mecânica Quântica, dirigida especialmente a quem não tenha conhecimentos prévios sobre o tema. Apoiados nessa introdução, analisaremos as razões para incluir a Hermiticidade do Hamiltoniano como um postulado, e mostraremos que esta não é estritamente necessária. Consideraremos então Hamiltonianos PT-Simétricos, isto é, invariantes sob a combinação da inversão espacial, $P$, com a temporal, $T$.

A geometria hiperbólica é um tipo de geometria não-euclidiana que nasce ao negar o 5º postulado de Euclides, o postulado das paralelas. A relatividade restrita é uma teoria desenvolvida por Einstein em 1905 que nos diz como transformar o tempo e o espaço entre dois referenciais inerciais (com velocidade constante em relação um ao outro). Vamos ver neste seminário o que têm estas duas teorias tão distintas (uma matemática e outra física!) em comum e como simplificamos a nossa compreensão de fenómenos relativisticos contra-intuitivos usando geometria hiperbólica.

Uma Base de Gröbner é uma estrutura algébrica que podemos definir num anel de polinómios. Desenvolvida por Bruno Buchberger em meados do séc. XX, é uma recente área de estudo que combina álgebra e computação e tem inúmeras aplicações tanto dentro como fora da matemática. Problemas como determinar a igualdade de ideais, decidir se um certo polinómio pertence a um ideal, decidir se um grafo pode ser colorido com $n$ cores ou até problemas relacionados com origami e a indústria do petróleo podem ser resolvidos com as Bases de Gröbner e são alguns dos tópicos de que falaremos neste seminário.

O Problema do Caixeiro Viajante é simples de descrever mas bastante difícil de resolver. De facto, não é conhecido nenhum algoritmo polinomial para o resolver, pelo que as soluções são tipicamente obtidas usando algoritmos de aproximação. Neste seminário iremos não só estudar a qualidade das soluções obtidas com os algoritmos 2-opt e 3-opt mas também como obter estimativas para o custo optimal.

Neste seminário falaremos das experiências de Gregor Mendel sobre a reprodução das ervilhas e as leis da genética que publicou como resultado em 1985. Os resultados destas experiências foram mais tarde explorados exaustivamente pelo brilhante Ronald Fisher que, com o simples objectivo de homenagear um grande homem, acabou por ser surpreendido com os resultados obtidos. Terá Mendel realmente efectuado as experiências? Ou será que manipulou de alguma forma os resultados, ciente do que pretendia obter? Estas são algumas das perguntas a que tentaremos responder, mostrando como a estatística permite reproduzir a forma como as experiências decorreram.

Neste seminário falaremos sobre o integral de caminho de Feynman, que pode ser interpretado como uma generalização do princípio de acção mínima da Mecânica Clássica transportado para a Mecânica Quântica. Uma tal representação permite-nos investigar as relações existentes entre essas duas Mecânicas. Nota: não serão assumidos conhecimentos prévios de Mecânica Quântica.

Neste seminário falaremos sobre a utilização da matemática na área de Inteligência Artificial aplicada em jogos. Um tema em que várias áreas da matemática colidem em busca de uma solução: criar um sistema que aja por si só de uma forma credível. Serão introduzidas as bases para que qualquer um consiga aliar-se na busca por esta solução. Não, não vamos criar uma Skynet.

Considerando um tubo infinito para um dos lados, cheio de gás e com um pistão, é fácil verificar que, do ponto de vista físico, quando se empurra o pistão a velocidade das partículas de gás e a pressão aumentam, e que quando se retrai o pistão, estas diminuem. O objectivo deste seminário é tentar mostrar estes acontecimentos recorrendo ao estudo de Equações Diferenciais Parciais, nomeadamente ao estudo de curvas características.

Como é que das interações entre neurónios vizinhos resulta algo mais global, o pensamento? Isto é, como é que de simples regras de interação local podem surgir fenómenos complexos a uma maior escala? E o que é que tudo isto tem a ver com máquinas de Turing, reações químicas que mudam de cor, padrões que se propagam como naves espaciais e formigas? Neste seminário iremos introduzir um modelo simples mas rico que une tudo isto: o de autómato celular.

Em 1924 Banach e Tarski demonstraram que é possível dividir uma laranja num número finito de pedaços e rearranjá-los de forma a obter duas laranjas com o mesmo tamanho que a primeira. Este resultado verdadeiramente surpreendente e contra-intuitivo ficou conhecido como o "paradoxo de Banach-Tarski". Neste seminário iremos discutir este resultado, focando-nos nos dois aspectos fundamentais por detrás da sua demonstração e de interesse matemático geral: o Axioma da Escolha e a existência de decomposições paradoxais de certos grupos.

O sistema eleitoral usado no Reino Unido para eleger os deputados para o parlamento tem diversas falhas. Neste seminário iremos falar sobre algumas dessas falhas e procurar alternativas usando técnicas de optimização, comparando os novos modelos obtidos com o actual.

Se lhe oferecessem hoje a opção de comprar uma acção da Apple por 400$ daqui a 6 meses, quanto estaria disposto a pagar por esse direito? A resposta a esta pergunta, obtida no próspero ano de 73, valeu o prémio Nobel da Economia de 97.

Os treinadores e seleccionadores de futebol têm o importante papel de escolher os atletas que melhor asseguram o cumprimento das exigências que este desporto abrange. Essa escolha é feita, na maioria das vezes, de modo subjectivo. Uma análise mais objectiva do conjunto de atletas à disposição pode permitir decisões mais acertadas. Através do indicador Informação Mútua, que é uma medida entre duas variáveis aleatórias, é possível fazer uma selecção das variáveis que contribuíram para a classificação de seleccionado ou não-seleccionado e assim saber as características mais importantes para a selecção de atletas.

A teoria de grafos tem importantes aplicações dentro e fora da Matemática. Neste seminário vamos estudar um dos principais problemas em teoria de grafos, o de encontrar fluxos máximos em redes. Vamos dar um foco especial a problemas em que os grafos se modificam ao longo do tempo.

Neste seminário vamos explorar a correspondência entre ideais de polinómios e variedades afins. A investigação da natureza desta correspondência levar-nos-á ao celebrado Nullstellensatz de Hilbert — um dos mais importantes teoremas dos finais do século XIX — que estabelece uma ponte fundamental entre a Álgebra e a Geometria e é um dos alicerces da Geometria Algébrica.

Muitas leis físicas podem ser formuladas recorrendo à minimização de determinadas quantidades. Assim, convém saber minimizar, e é para isso que existe o cálculo de variações. Neste seminário, introduziremos os métodos clássico e directo do cálculo de variações, apresentando as principais ferramentas utilizadas (como as Equações de Euler-Lagrange) e alguns exemplos simples de aplicação a problemas da Física.