Em 1924 Banach e Tarski demonstraram que é possível dividir uma laranja num número finito de pedaços e rearranjá-los de forma a obter duas laranjas com o mesmo tamanho que a primeira. Este resultado verdadeiramente surpreendente e contra-intuitivo ficou conhecido como o "paradoxo de Banach-Tarski". Neste seminário iremos discutir este resultado, focando-nos nos dois aspectos fundamentais por detrás da sua demonstração e de interesse matemático geral: o Axioma da Escolha e a existência de decomposições paradoxais de certos grupos.