É muito fácil definir conjuntos, por exemplo "o conjunto $A$ dos números primos gémeos". Mas será assim tão fácil provar propriedades de $A$? - Será $A$ não vazio? Sim, 3 e 5 são primos gémeos. Conseguirei encontrar o próximo par de elementos de $A$ sem dificuldades? Será que $A$ tem infinitos elementos?... Neste seminário vamos olhar para conjuntos de números naturais e perceber de onde provêm as dificuldades. Com alguma criatividade poderemos construir conjuntos para os quais não conseguimos responder à simples questão: "Será que este elemento pertence a este conjunto?".

Vista de perto, uma superfície é semelhante a um plano. Generalizando a noção de distância num plano, podemos definir métricas numa superfície. A uma superfície dotada de uma métrica com boas propriedades chamamos uma geometria.
Exemplos de geometrias são o espaço euclidiano, a esfera e o plano hiperbólico. Será que existem outros? Será que qualquer superfície admite uma geometria? Será que essa geometria é única? Estas e outras questões serão abordadas neste seminário.

Imaginemos uma fábrica e alguns robots que se deslocam por ela para realizarem determinada tarefa, contornando alguns obstáculos. Será que, sabendo o número de robots e qual o seu percurso, poderemos visualizar o seu espaço de configurações? Se sim, qual o aspecto desses espaços? Serão fáceis ou difíceis de visualizar? Haverá maneira de os simplificar? Até que ponto essa simplificação será válida? É no âmbito da topologia que, neste seminário, serão dadas as respostas a estas e outras questões. Para concluir faremos uma introdução à teoria das tranças e veremos como se ajusta a este problema.

O estudo das propriedades de reflexão e refracção da luz remonta à Grécia antiga e tem aplicações que vão da destruição de armadas ao desenho dos faróis dos automóveis. Estas propriedades permitem definir e estudar a formação de cáusticas, curvas que é possível observar usando apenas um copo de vinho. Este seminário será uma oportunidade de redescobrir este tema.

Desde a antiguidade e até aos dias de hoje, têm surgido na matemática, e em particular na lógica, resultados que desafiam a intuição. Alguns, como o título deste seminário, consistem em contradições aparentemente impossíveis, enquanto outros permitem deduzir factos inesperados. Neste seminário, serão apresentados alguns exemplos de tais resultados e procuraremos compreender quais são realmente paradoxais. A axiomatização de Zermelo-Fraenkel para a teoria dos conjuntos em lógica de primeira ordem será introduzida como ferramenta para desvendar o paradoxo de Russell.

Que tal juntarmo-nos a Bernoulli, Catalan, Euler e outros numa intrépida aventura que nos levará a montanhas habitadas por serpentes indomáveis e de onde teremos uma vista privilegiada sobre o mundo da combinatória?
Material necessário: alguma vodka, energia q.b. e muita curiosidade!

A Geometria Tropical surge através da degeneração da geometria a que estamos habituados. Objectos, como por exemplo as quádricas (habitualmente parábolas, hipérboles, etc.) e as cúbicas, transformam-se em objectos compostos por uniões de segmentos de recta. Estes objectos, como se verá no seminário, resultam de uma geometria sobre um anel com operações diferentes da habitual soma e produto: é este o anel tropical (assim baptizado por ter sido um brasileiro o primeiro a trabalhar com ele). Nesta palestra vamos ver um exemplo de degeneração que sugere essa geometria, definir o anel tropical e ver qual o aspecto das suas curvas algébricas (i.e. as curvas que estão associadas a polinómios do anel). Apresentaremos também algumas das suas propriedades básicas.

Como podemos decidir se dois nós de aspecto diferente realmente o são? Poderão eles acabar por ser o mesmo nó, após alguma reorganização dos seus fios? Este é o chamado problema de classificação: como identificar e listar os nós realmente diferentes? Muitos matemáticos têm tentado contribuir para a resolução deste problema. Um progresso importante foi feito por John Conway, ao introduzir os "emaranhados" como blocos básicos de construção de nós. Neste seminário, vamos introduzir o conceito de emaranhado e estudar a sub-classe dos emaranhados racionais. Para estes, existe um misterioso teorema de classificação que associa emaranhados racionais a fracções contínuas.

Como é que J.F. Kennedy conseguiu evitar a que poderia vir a ser a 3ª Guerra Mundial?
A resposta é simples: enviando soldados como reféns aos soviéticos! Esta decisão pode ser esclarecida utilizando um modelo matemático do conflito em Teoria de Jogos.
Neste seminário pretende-se fazer uma introdução a este ramo da Matemática, cujo estudo levou John Nash a ganhar o Prémio Nobel da Economia. Serão apresentados resultados gerais que se aplicam a jogos conhecidos. Será também apresentado o intrigante dilema do prisioneiro e a forma de obter "a solução" para um jogo.

Erdös afirmava que Deus guarda as provas perfeitas de todos os teoremas matemáticos num único livro – a que chamava simplesmente O Livro – em cuja existência todos os matemáticos, crentes ou não, devem acreditar.

Mas o que faz uma prova estar n'O Livro? Não é necessariamente o resultado matemático que ela demonstra, mas sim as ideias e observações magníficas que a constituem! Como dizia Hardy: ''não há lugar na História para Matemática feia''.

Mesmo sem o acesso a O Livro, há unanimidade entre os matemáticos de que certas provas estão neste. Neste seminário pretende-se dar um vislumbre d'O Livro apresentando algumas provas de que os primos são infinitos.

Como se comporta o sangue que circula nas nossas artérias? Como será que se pode estudar esse comportamento do ponto de vista matemático? Será que este varia das artérias grandes para as pequenas? E se a artéria estiver obstruída devido a uma acumulação de colesterol?

É fundamental para a Medicina responder a questões deste tipo; recorrendo à Matemática é possível encontrar modelos e métodos que ajudam a obter respostas. Neste seminário serão apresentadas algumas dificuldades práticas que estas questões levantam e introduzir-se-á o Método dos Elementos Finitos como uma forma de as resolver.