Criámos um simulador de bilhar, onde em vez de pontos temos bolas
com raio. Mas depois pensámos: se as bolas têm raio, porque não
massa? E se tiverem massa suficiente para se atrairem umas às
outras devido a forças graviticas? Pusemos mãos à obra, e o
resultado foram bolas de bilhar em órbita. Convidamo-vos então a
assistir a um seminário pouco convencional de teoria de bilhares.
Neste seminário vamos abordar alguns dos algoritmos utilizandos
actualmente na geração de números pseudo-aleatórios. Iremos
discutir as principais características de cada um destes
algoritmos, bem como o tipo de aplicações onde cada um é passível
de ser utilizado. Se queres saber o que distingue um gerador
criptograficamente seguro de um eficiente para simulações, aparece!
A entropia é um conceito muito importante na Física, utilizada para
se estudar a organização ou quantidade de informação de um sistema,
suas correlações e até sua evolução e dinâmica. Em 1988 o físico
greco-brasileiro Constantino Tsallis propôs o que se mostrou ser
uma das mais promissoras e úteis entropias para sistemas
"não-Boltzmannianos". Essa entropia utiliza uma função matemática
chamada de q-exponencial, relacionada com q-gaussiana e
q-logaritmo. Neste seminário será feita uma introdução a esses
conceitos, com ênfase na q-exponencial e suas implicações.
A Mecânica Estatística surge como a teoria que faz a ligação entre o mundo microscópico (regido pelas leis da Mecânica) com o mundo macroscópico (regido pelas leis da Termodinâmica) pela utilização de princípios da teoria das probabilidades. Esta teoria foi formulada por Ludwig Boltzmann e Josiah Gibbs e é indubitavelmente um dos pilares da ciência moderna dado o seu sucesso na descrição de sistemas físicos em equilíbrio como por exemplo: radiação de corpo negro, transições de fase, condensação de Bose-Einstein, teoria dos sólidos... Durante 100 anos, praticamente a teoria permaneceu como a única descrição possível para ligar o mundo microscópico ao macroscópico apesar das suas conhecidas limitações. Em 1988, Constantino Tsallis propôs uma nova entropia, o que inaugurou uma nova área de investigação denominada Mecânica Estatística Não-extensiva. Esta última tem sido aplicada no tratamento de sistemas onde a Mecânica Estatística na formulação de Boltzmann-Gibbs falha ou é utilizada de maneira *ad hoc*. Embora sua aplicação principal continue a ser a determinação das variáveis termodinâmicas a partir de teoria de probabilidades e das leis da Mecânica, esta teoria não somente tem tido sucesso na explicação de fenómenos físicos fora do equilíbrio (sistemas onde não é possível definir temperatura), em meta-equilíbrio ou com elevada correlação entre as partes constituintes do mesmo, bem como em áreas da linguística, biologia, economia, o que alarga a concepção inicial da utilização da Mecânica Estatística. Neste seminário, propõe-se mostrar como princípios da teoria de probabilidades podem ter papel fundamental na descrição de sistemas tão distintos como sistemas biológicos, físicos e económicos. Partindo-se do significado de eternidade e universalidade de uma lei física, pretende-se também discutir o que seria uma generalização da mesma.
Este seminário apresenta os matemáticos à música e os músicos à
matemática. Hoje em dia, a matemática é aprendida pela maioria,
desde cedo na escola, por obrigação e com desinteresse, enquanto
que a música, por seu lado esteve sempre ligada às emoções e à
vida! Será que não podemos ligar estes dois mundos? Leibniz disse
um dia: "música é o prazer que a mente humana experimenta quando
conta, sem se aperceber que está a contar". Tentaremos ouvir a
música dos primos e, preenchendo os espaços de silêncio entre
compassos da música iremos talvez encontrar uma harmoniosa melodia
entre o artístico e o científico.
Os números primos representam um dos conceitos mais fascinantes da Matemática. A primeira pergunta que podemos fazer sobre os números primos é se haverá uma boa maneira de os encontrar. Como é que, dado um número $n$, podemos saber se $n$ é primo? Poderá um computador responder a esta pergunta de forma eficiente? A resposta não é simples, e como veremos, o método básico que todos conhecemos não pode ser aplicado de forma "eficiente" em números muito grandes. Mas haverá algum "bom" algoritmo que responda a esta questão? Neste seminário exploraremos alguns testes de primalidade conhecidos, e encontraremos várias respostas à nossa pergunta. Mas preparem-se, pois as respostas podem não ser aquilo que nós esperávamos...
Quais são as diferenças entre viver numa Terra esférica, plana infinita ou com a forma de um funil infinito? Neste seminário serão evidenciadas algumas semelhanças e diferenças, do ponto de vista geométrico, entre as superfícies planas, esféricas e hiperbólicas (superfícies de curvatura constante), como, por exemplo, as suas isometrias e as suas rectas. Serão caracterizadas também superficies que são localmente iguais às de curvatura constante.
Não, o dígito à parte dos números de BI não indica o número de pessoas com o mesmo nome. É na verdade um mecanismo elementar de identificação de erros que permite, em alguns casos, saber se o número indicado está incorrecto. Há muitos outros semelhantes. Na era tecnológica em que vivemos há uma enorme preocupação com a transmissão eficiente de informação, e já que não existem aparelhos perfeitos que nos permitam garantir que não haverá perda ou alteração da informação é necessário criar formas de identificar e corrigir erros na mensagem recebida. É este o problema que está na base da Teoria de Códigos, e entre os chamados Códigos de Correcção de Erros encontram-se os Códigos Lineares, como veremos neste seminário.
Partindo de um resultado combinatório descoberto por Emanuel Sperner, demonstraremos, a 2 dimensões, dois importantes teoremas da topologia dos espaços euclideanos: o Teorema do Ponto Fixo de Brower e o Teorema da Bola Cabeluda. Veremos como a união de diferentes áreas da matemática se pode tornar produtiva e interessante em si mesma.
Usando as ruas da cidade do Porto, construo um grafo dirigido, no qual pretendo colorir as arestas de forma a obter um autómato sincronizável. Isto é, quero pintar as ruas de forma a poder dar um conjunto de indicações para chegar a minha casa, que não dependa do ponto de partida. Será que é possível? Esta questão permaneceu aberta durante quase 40 anos, recentemente Avraham Trahtman encontrou a solução. Outro problema relacionado com este é a conjectura de Černý, que foi proposta em 1964 e continua aberta. Desta vez, o objectivo é limitar o tamanho da sequência de cores necessária para que toda a gente chegue ao mesmo ponto. Podemos ainda questionarmos sobre o tamanho de uma instrução que reuna toda a gente independentemente do ponto de partida e da coloração inicial das ruas. Neste seminário vamos ver um pouco sobre todos estes problemas e alguns dos avanços que têm sido feitos em cada um deles.
O estudo de curvas elípticas é importantes na teoria de números, por exemplo na famosa demonstração do Último Teorema de Fermat por Andrew Wiles. Podem também ser encontradas aplicações em criptografia e na factorização de inteiros. Neste seminário, veremos que curvas elípticas não são mais que o conjunto de pontos $(x,y)$ que satisfazem uma equação do tipo $y^2=x^3+A x+B$ e nos quais é possível definir uma "soma natural", formando um grupo abeliano.
Iremos ainda abordar algumas das propriedades destes grupos quando definimos as curvas elítpicas sobre corpos finitos.
É na dificuldade em resolver o problema do logaritmo discreto que assentam muitos dos sistemas criptográficos. Neste seminário, vamos começar por abordar este problema e perceber em que medida é importante na criptografia. Iremos também estudar sistemas criptográficos baseados em curvas elípticas e perceber em que sentido a utilização destas pode ser uma melhoria face aos actuais.
A Teoria de Nós é um dos ramos da matemática que mais se desenvolveu no último século. Neste seminário, iremos investigar um pouco desta área surpreendente da matemática. Começaremos por apresentar alguns conceitos fundamentais da teoria de nós, e em particular falaremos de colorações de nós. Propomo-nos ainda a desvendar alguns factos inovadores sobre colorações para uma classe especial de nós, os Nós da Cabeça do Turco.
Dar um nó numa gravata não é apenas uma questão de arte; é também uma questão de ciência. De facto, graças ao brilhante trabalho de Thomas Fink e Yong Mao, podemos relacionar nós de gravata não só com Teoria de Nós (óbvio e expectável) mas também com passeios aleatórios (não tão óbvio e nada expectável) e chegar à surpreendente conclusão de que só existem 85 nós de gravata. É objectivo deste seminário dar a conhecer um pouco melhor este resultado e a matemática que está por trás dele.