Conheces o nó do teu sapato, o nó da tua gravata, ou o nó da trança do teu cabelo? Achas que todos os nós são iguais? A Teoria dos nós ajuda-nos a responder a estas questões que aparentemente são simples. No entanto, a resposta nem sempre é trivial. Neste seminário iremos ver alguns aspectos importantes desta Teoria: como surgiu o seu estudo, como podemos representar os nós, distinguí-los e classificá-los.

Num curso introdutório de Análise Matemática, os números reais são muitas vezes apresentados de forma axiomática, como elementos de um conjunto satisfazendo certas regras. Será que estes axiomas definem os reais de forma única? Será mesmo razoável supor a sua existência? Ideias da teoria de conjuntos permitem-nos estudar estas questões. Veremos até como construir um corpo ordenado que além dos reais contém números infinitesimais e infinitamente grandes. Estas novas entidades permitem-nos codificar de forma natural os comportamentos assimptóticos de sucessões.

Existe algum método seguro de duas pessoas comunicarem secretamente, usando um computador? Usam-se vários métodos de codificação na internet ou multibanco, que supomos não interceptáveis. Mas serão eles perfeitamente seguros? É de esperar que a melhoria do suporte tecnológico permita, do ponto de vista quer teórico quer prático, implementar algoritmos de codificação mais sofisticados. Em particular, com o conceito fascinante do computador quântico, põe-se a questão de quão longe se poderá ir? Neste seminário veremos o que são os sistemas criptográficos simétricos e assimétricos usados actualmente; e de que forma os postulados da mecânica quântica, e suas impressionantes consequências, permitirão arranjar uma forma perfeitamente segura de codificar mensagens.

Neste seminário vamos apresentar uma extensão do conjunto dos números reais: o conjunto dos números hiperreais. Com ele, podemos obter demonstrações alternativas para os teoremas da Análise Real, em certos casos mais directas que as usuais e que incorporam directamente argumentos que estiveram na génese do Cálculo Infinitesimal. Estruturas deste tipo ampliam a capacidade expressiva da Matemática, podendo ser usadas, por um lado, para caracterizar de forma mais directa conceitos como o de distribuição, e por outro, para introduzir objectos sem paralelo em Análise Standard.

Em 1988 Gil Kalai demonstrou de uma maneira "simples", fazendo apenas uso de geometria elementar e argumentos combinatórios, que se pode reconstruir um politopo simples a partir do seu grafo, isto é, a partir dos seus vértices e arestas. Este problema, de solução realmente simples em dimensões menores ou iguais a três, mas não tão simples em dimensões superiores, é, tal como outros problemas de combinatória e teoria de grafos, muito importante em programação linear e em optimização de algoritmos computacionais. Nesta apresentação tentaremos perceber o que são politopos e grafos de politopos, porque razão o seu estudo é importante e dar algumas ideias da demonstração de Kalai.

Os processos (ou cadeias) de Markov modelam evoluções aleatórias - chamam-se rigorosamente processos estocásticos - de sistemas "sem memória", como por exemplo o dinheiro de que dispomos ao longo de um jogo de roleta, a evolução no jogo da glória ou o número de exemplares de uma espécie numa dada população em estudo. Sendo relativamente simples e bastante comuns, é possível, sem ferramentas matemáticas demasiado sofisticadas, estudar muitas das suas propriedades fundamentais, com várias aplicações de interesse. Neste seminário vamos introduzir estes processos de forma rigorosa, bem como expor algumas das características que os tornam fáceis de estudar. Apresentaremos formas explícitas de "calcular" o seu comportamento, e daremos uma ideia das suas aplicações a vários aspectos da nossa vida.

A equação $x^n+y^n=z^n$ não tem soluções inteiras não nulas para $n>2$. Um problema de tão simples enunciado resistiu mais de 350 anos aos esforços dos melhores matemáticos. Neste seminário será apresentado o Teorema de Kumer, que prova o Teorema de Fermat para o caso particular do expoente ser um primo regular (conceito a explicar no seminário). Este teorema foi provado em 1850 e ocupa uma posição importante no desenvolvimento da demonstração do UTF. Para acompanhar este seminário bastam conceitos muito elementares de álgebra.

Função Zeta, Teorema dos Números Primos, $\pi (x)$ e Hipótese de Riemann são termos que facilmente se encontram num livro de divulgação, mas o que querem dizer? Neste seminário vamos responder à pergunta anterior através de uma breve visita ao artigo de Bernhard Riemann On the Number of Prime Numbers Less Than a Given Quantity. Neste artigo Riemann obtém uma fórmula para a função $\pi (x)$ e levanta uma conjectura que se tornou num dos mais importantes problemas em aberto da Matemática actual: a Hipótese de Riemann.

Uma questão importante em Teoria dos Números é encontrar soluções racionais de um polinómio de coeficientes racionais. Os casos linear e de equações a uma variável são de fácil resolução. A duas incógnitas, o caso quadrático (não sendo trivial) está completamente compreendido e sabe-se que equações não-singulares de grau superior ao terceiro só podem ter um número finito de soluções. Neste seminário vamos estudar o caso das cúbicas a duas incógnitas, onde há ainda muitas questões em aberto; por exemplo, não é sequer conhecido um algoritmo para determinar se uma equação tem ou não soluções. No entanto, conhecendo uma delas é possível introduzir no conjunto de pontos solução uma estrutura de grupo abeliano. É essa estrutura de grupo que vamos caracterizar, apresentando alguns resultados relevantes sobre ela conhecidos.