O que é que um circuito elétrico e uma cadeia de Markov têm em comum? Neste seminário estabelecemos uma representação formal de um circuito elétrico à custa da teoria de grafos, provamos resultados sobre diferenças de potencial e intensidades e conectamos estes conceitos a um problema (aparentemente) não relacionado. No final mediremos uma probabilidade usando um voltímetro!
– Europe/Lisbon
Sala P3.10, Pavilhão de Matemática — Online
Francisco Nascimento, MMAC - Instituto Superior Técnico Números p-ádicos
Podemos usar número primos para medir distâncias? Sim, mas não da maneira que estás à espera... Neste seminário fazemos uma apresentação ao corpo dos números p-ádicos, provando resultados e mostrando exemplos contrastantes ao que acontece no corpo dos reais, junto com algumas das suas aplicações.
– Europe/Lisbon
Sala P3.10, Pavilhão de Matemática — Online
“Matemática Inversa” é um ramo da lógica relativamente recente (anos 70) e activo. Entre outras coisas, esta área faz sentido de afirmações da forma “este teorema implica aquele teorema”. Nesta palestra, procuramos introduzir as noções básicas da matemática inversa, com o objectivo de convencer a audiência que o teorema de Weierstrass é equivalente à afirmação “qualquer anel tem um ideal primo”, mas estritamente mais fraco do que “qualquer anel tem um ideal maximal”.
Não é necessário conhecimento prévio de lógica, pelo que todos os alunos são bem-vindos.
Resolver sistemas lineares com infinitas variáveis não é tarefa fácil. E se pudéssemos aproximar uma solução usando álgebra linear? Neste seminário vamos ver em que condições isto pode ser feito no caso de operadores com todas as diagonais constantes, chamados operadores de Toeplitz.
Pizza às 15h30!
Problema diagonal
Dados $x,y\in\mathbb{C}^n$, definimos a convolução $x\ast y\in \mathbb{C}^{2n-1}$ como \[ x\ast y (k) = \sum_{i+j = k+1 \atop 1\leq i, j \leq n}x(i)j(j)\] onde $x\ast y(k)$, $x(k)$ e $y(k)$ são o $k$-ésimo elemento de $x\ast y$, $x$ e $y$ respectivamente.
Mostra que, para todo o $x\in\mathbb{C}^n$, existe uma matriz $T_x$ tal que a convolução pode ser dada pelo produto matricial, isto é, para todo o $y\in\mathbb{C}^n$ temos $T_x y = x\ast y$.
Imagina que alguém está a tocar um tambor. Será possível determinar a forma do tambor, exclusivamente através do som? A área da matemática que trata deste tipo de perguntas chama-se geometria espectral. Nesta palestra, vamos explorar a ideia de ouvir o som produzido por objectos geométricos, começando por determinar o som de cordas e tambores rectangulares, com objetivo final de determinar o som da esfera. No processo, serão introduzidas algumas noções básicas de geometria diferencial e estudadas algumas aplicações, nomeadamente à física e ao processamento de imagem.
Pizza às 15h30!
Desafio diagonal
Quais são as funções $f : [0,l ] \to \mathbb{R}$ e valores de $\lambda$ que satisfazem a seguinte equação diferencial:
O operador diferencial p-Laplaciano é uma generalização não linear do Laplaciano, surgindo frequentemente na modelação de fenómenos não lineares (por exemplo, comportamento de fluidos viscosos). Nesta apresentação, estaremos interessados no espetro deste operador no contexto dos grafos métricos (coleção de intervalos “colados” segundo a estrutura de um grafo), e mostraremos como construir uma sucessão de valores próprios do mesmo. Veremos ainda como é que algumas transformações geométricas (“surgery operations”) no grafo afetam os valores próprios do p-Laplaciano.
Orientadores: Hugo Tavares (IST) e James Kennedy (FCUL)
Apresentação dos sistemas de dedução natural, os seus axiomas e regras, como estes funcionam e relação com os sistemas de Hilbert (que são lecionados na cadeira de Lógica Matemática).
Teoria dos produtos infinitos, usar essa teoria para definir a função Gama e a função Zeta de Riemann. Algumas propriedades conhecidas dessas funções, incluindo o teorema dos números primos.
As fotografias são frequentemente deterioradas por movimentos da câmara ou ruídos aleatórios. Neste projeto, apresentam-se diferentes métodos na área da Álgebra Linear Numérica para o tratamento de imagens, nomeadamente a Decomposição SVD, Regularização de Tikhonov e Convolução, e aplicam-se estas técnicas à compressão e eliminação de ruído de imagens.
In my work I have developed a learning-based method that enhances the efficiency and accuracy of automatic theorem proving. Inspired by the research of Urban et al. (2020).
Central to my methodology is the use of a long short-term memory (LSTM) architecture, along with general attention and beam search mechanisms. By leveraging the internal state vector of the LSTM, which updates with each chosen fact, the model achieves decision-making capabilities that mimic the state of a proof.
Additionally, I explore the integration of formula embedding techniques with various machine learning (ML) models, specifically investigating the combination with GloVe. This integration enhances the theorem proving capabilities of the LSTM architecture.
Compared to the original approach, my method demonstrates a 5% increase in proven theorems.
Alongside my research, I provide a comprehensive overview of automatic theorem proving and its connection to machine learning.
Introdução ao Movimento Browniano com o objetivo de encontrar o valor de opções financeiras, através da derivação da fórmula de Black-Scholes.
Orientadora: Ana Bela Cruzeiro
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Sala P3.10, Pavilhão de Matemática
Madalena Preto, LMAC, Instituto Superior Técnico Lógica Modal
Principais resultados da Lógica Modal: Sintaxe. Consequências semântica e dedutiva. Correção. Frame definability e comparação com lógica de primeira ordem.
During the last century, an equation that has sparked interest among mathematicians is the nonlinear Schrödinger Equation, due to its applications in nonlinear optics and in quantum field theory. The aim of this work is to present ome basic concepts of the study of a variant of this particular equation (the Nonautonomous Schrödinger Equation) in one dimension as well as introduce some results of scattering theory. To achieve this we divide this work in three stages: in the first section, we analyse the linear equation and the local well-posedness of the nonautonomous variant; in the second section, we provide a proof of the existence of scattering states of the global solution; and, in the third section, we present some stronger results regarding the existence of scattering using the Pseudo-Conformal Transformation
Nesta apresentação vou introduzir a "conjetura de Frankl" que na sua variante original diz que numa família finita de conjuntos fechada para a união , (para simplificar vamos assumir que a família está contida em [n]), existe sempre um elemento i pertencente a pelo menos metade dos conjuntos.
Vou falar resumidamente das suas diferentes variantes e dos resultados conhecidos até ao fim do ano passado. Segue-se depois os grandes avanços na conjetura que recorreram à utilização da teoria da informação. Nesta apresentação vou fazer uma pequena introdução à função da entropia e como a podemos usar para um problema de combinatória. Por fim vou mostrar como se chegou à lower bound de (3-sqrt(5))/2