Desde os tempos de Euclides (300 A.C.) que a humanidade tenta desvendar os misteriosos números primos. Até; aos tempos de hoje, muitos ilustres matemáticos — Euler, Fermat, Legendre, etc. — se debruçaram sobre estes números procurando padrões, regularidade ou algum tipo de estrutura que ajudasse a compreender a sua natureza aparentemente aleatória. Este seminário é dedicado a um importante resultado conhecido como Teorema de Dirichlet que relaciona números primos com progressões aritméticas. Inicialmente proposto por Legendre e posteriormente demonstrado por Dirichlet, o Teorema de Dirichlet é um exemplo clássico de aplicação de métodos analíticos (como séries, integrais, limites) à Teoria de Números.

E se verdadeiro ou falso não fossem as únicas possibilidades? Neste seminário faremos uma breve apresentação da lógica intuicionista e das principais características que a distinguem da lógica clássica. Porque é que nos permitimos fazer provas por redução ao absurdo? O que é o raciocínio construtivo? Para que pode servir esta lógica em que nem tudo é verdadeiro ou falso? E como se pode pensar neste "novo mundo"?

Neste seminário analisam-se dois exemplos familiares de sistemas caóticos: o Sistema de Lorenz e a Aplicação Logística. Observam-se os seus comportamentos típicos bem como as suas origens, numa tentativa de compreender o que faz destes dois sistemas verdadeiros símbolos do estudo do caos. Esta área tem aplicações em inúmeros sistemas não lineares de física, tais como circuitos eléctricos e fluidos reais, ou ainda a codificação de mensagens, a previsão meteorológica ou a previsão do comportamento da bolsa.

Numa era em que cada vez mais e diversos sistemas dinâmicos interagem uns com os outros, existe a necessidade de os caracterizar e os analisar de maneira sistemática. Este foi o tema de capa da revista Nature em Maio de 2011. Em geral, sistemas dinâmicos são caracterizados por sistemas de equações diferenciais ordinárias (EDOs), que não providenciam a intuição necessária nem a possibilidade de usar métodos computacionais eficientes. Neste seminário iremos abstrair-nos deste facto e faremos a análise destes sistemas dinâmicos usando conceitos elementares de... teoria de grafos!

Vamos preencher um tabuleiro $n\times n$ com números de forma a que em cada coluna e linha não existam repetições: são os quadrados Latinos. Seria simples se só assim o fosse... vamos, então, para cada quadrícula do tabuleiro, fixar um conjunto de $n$ elementos a priori, e só poderemos usar para cada quadrícula um número que tem de estar no conjunto correspondente. Há cerca de 40 anos, Jeff Dinitz conjecturou que, mesmo com a complicada restrição, é sempre possível completar os tabuleiros à la quadrados Latinos. Neste seminário vamos como provar esta conjectura e como tudo isto está relacionado com um algoritmo para obter casamentos estáveis.

Num mundo repleto de comunicação e comércio electrónico, a segurança de informação é uma preocupação fundamental. Tipicamente, num problema de segurança precisamos de raciocinar sobre o conhecimento do intruso, a incerteza associada ao segredo que se pretende descobrir e ainda sobre actualizações de informação. Através de um exemplo, vamos constatar que a lógica dinâmica probabilistica e epistémica cobre todos estes requisitos.

Teoria de Nós é uma área da Topologia e um dos seus principais objectivos é a procura de algoritmos que permitam distinguir nós. Neste seminário serão introduzidos conceitos básicos como a definição de "nó" e de "equivalência entre nós". Será também explicado de que maneira o problema da equivalência entre nós se pode reduzir a um problema combinatório de aplicação de movimentos de Reidemeister. Por fim, será dado a conhecer um invariante de nós, conhecido como polinómio de Alexander, e serão dados exemplos da sua aplicação.

Será a Matemática apenas uma forma útil da Sociedade investir recursos excedentes, garantindo a sobrevivência de pessoas com facilidade em resolver equações? Será uma ciência tão exacta como é dito? Em relação a quê? É possível que muitos de vós já tenham encontrado as respostas a estas perguntas. Contudo, tentaremos mostrar que a Matemática é de tal forma importante que devemos sempre considerar respostas alternativas questionando-nos incessantemente sobre a natureza da Matemática e da sua relação com a realidade. Para tal, apresentaremos alguns exemplos motivadores da História da Matemática de forma a conseguirmos colocar as perguntas certas.

De onde e como surge a matemática? Qual o papel da física na sua evolução? O que é formalismo? Quem é Nicolas Bourbaki? Partindo do osso de Lebombo, um dos mais antigos artefactos de contagem, atravessaremos séculos de desenvolvimento da matemática, e veremos como e porquê evoluíu, por que razão a filosofia lhe é tão próxima, quais os seus objectivos e qual o seu impacto no mundo.

Em 1978 McKay apercebeu-se de algo extraordinário: $196884 = 196883+1$. E que $21493760=21296876+196883+1$. E poderíamos continuar.

Será este seminário sobre o algoritmo da soma? Será um workshop sobre as aplicações do botão (+) da calculadora? Desengane-se o leitor. Por trás destes números esconde-se um dos resultados mais surpreendentes da matemática recente, A Conjectura de Moonshine. Resultado este que conseguiu estabelecer ligações entre as funções modulares, as representações do maior grupo finito simples esporádico (O MONSTRO!) e as álgebras de Lie de operadores.

O século XXI foi anunciado por muitos como O Século do Cérebro. Que avanços são esperados neste domínio científico? Será que, depois de entendermos a nossa própria mente, a poderemos replicar num computador, criando efectivamente um Ser Artificial? A atestar a sua crescente maturidade, a investigação nesta área tem vindo a adquir um cariz progressivamente mais matemático. Neste seminário veremos como, enquanto nos aventuramos na exploração detalhada dos modelos mais realistas usados na caracterização daquela que é considerada a unidade fundamental do cérebro: o neurónio.

Suponha-se que temos um objecto de interesse matemático cortado em fatias: qual deverá ser o tamanho do nosso objecto original para garantir que pelo menos uma dessas fatias contenha uma propriedade que nos seja interessante? Questões deste tipo levaram ao desenvolvimento de uma fascinante área da Matemática, a Teoria de Ramsey, de grande utilidade não só em Teoria de Grafos como practicamente em todas as restantes áreas da Matemática Moderna. Neste seminário abordaremos os mais básicos e fundamentais resultados em Teoria de Ramsey e consequências destes em Aritmética Combinatórica.

Quando se fala em relacionar o contínuo com o discreto, é possível que o leitor se lembre de resultados como o Teorema de Pick ou o Teorema dos Resíduos. Outro exemplo de tal relação consiste na determinação do volume de um polítopo recorrendo ao caálculo do número de pontos inteiros na sua t-ésima dilatação. Esta ideia motiva a definição de uma funçao de contagem para cada polítopo. Se o polítopo tiver coordenadas inteiras, esta função satisfaz propriedades interessantes como, por exemplo, ser polinomial.

Partindo do ponto de que o braille é um código que permite várias grafias, o leitor será levado numa viagem pelas singularidades da grafia matemática, passando pela descodificação de alguns teoremas e fórmulas conhecidos. Serão ainda expostos objectos, livros e revistas que auxiliam quem lê de uma forma diferente.