2000seminários

Alexandre Francisco, 4º ano da LMAC - Computação, Instituto Superior Técnico
Computação Quântica

Agora vivemos numa nova era, a era quântica! Mas de que forma este novo entendimento do universo influencia o processamento, a aquisição e a transmissão de informação? Agora ouvimos falar em computadores quânticos, mas o que são afinal estas máquinas maravilhosas? Que novo paradigma é este, o da computação quântica? Teremos nós oportunidade de ultrapassar o poder de Turing? Serão agora tratáveis muitos dos problemas cuja resolução apenas sonhámos um dia?

É objectivo deste nosso seminário discutir estas e outras questões, bem como entender melhor o que de novo nos reserva o futuro, talvez mais próximo do que possamos imaginar!

Tiago Requeijo, 4º ano da LMAC - Análise, Instituto Superior Técnico
Nós e Alguns Invariantes

Uma questão que provavelmente nunca nos surgiu diz respeito a distinguir dois nós (por exemplo, determinar se um dado nó é cego). Embora possa parecer um assunto de pouca relevância, é crucial saber se um nó se pode desfazer puxando as extremidades. Imagine-se, por exemplo, se os nós da corda de um alpinista se desfizessem ao esticar a corda...

Em matemática um nó não passa de uma corda em que juntamos os extremos. Neste seminário vamos ver alguns invariantes que permitem distingui-los.

Luís Cruz-Filipe, 5º ano da LMAC - Computação, IST
Até Onde Podemos Ir?

Ao longo do século XX os computadores passaram de inexistentes a indispensáveis, e hoje grande parte das tarefas do dia-a-dia é por eles realizada. Mas haverá um limite para o que podem fazer? Neste seminário veremos alguns resultados clássicos da Teoria da Computação, analisando algumas das suas consequências práticas. No final discutiremos o que os novos paradigmas de computação nos trazem de novo face aos tradicionais, e o que (não) devemos esperar deles.

Pedro Adão, 4º ano da LMAC - Computação, Instituto Superior Técnico
Cripto Quê?

Quando queríamos guardar alguma coisa usávamos os cofres; quando queríamos que uma carta chegasse ao destino sem ser aberta, usávamos lacre; quando queríamos garantir que um destinatário recebia uma carta, enviávamo-la com aviso de recepção.

Hoje em dia, no mundo em que vivemos, será possível ter segurança? Podemos ter um cofre na Internet para guardar dinheiro virtual? Podemos assinar documentos virtuais sem que ninguém falsifique a nossa assinatura? Podemos enviar e-mails lacrados? Podemos enviar e-mails com aviso de recepção?

Estas e outras questões serão abordadas neste seminário.

Tiago Reis, 2º ano da LMAC, IST
Criptografia!

Será possivel que duas pessoas lancem uma moeda ao ar ao telefone? Poderá isto ser feito sem que a pessoa que escolhe cara ou coroa, no caso de perder, não duvide nem um pouco da honestidade do lançamento? Neste seminário veremos qual a solução para este problema e até que ponto é fiável.

Na sequência do seminário anterior, vamos ainda ver o que é um algoritmo de encriptação de chave pública, isto é, um algoritmo em que tanto a chave como o próprio algoritmo são públicos. Por fim, veremos o que é e como funciona o algoritmo RSA, tão amplamente difundido.

Luís Russo, 3º ano da LMAC - Computação, IST
O Teorema de Pitágoras

Sabia que Pitágoras não foi o primeiro a descobrir o Teorema de Pitágoras? Sabia que são conhecidas cerca de 380 demonstrações independentes deste resultado que têm fascinado gerações pela sua simplicidade? A abordagem destas questões, bem como algumas curiosidades históricas com elas relacionadas, constitui o tema deste seminário.

Pedro Baptista, 5º ano da LMAC - Computação, IST
Espaços Sem Pontos

A propósito de uma das definições clássicas de número real, devida a Dedekind, veremos uma forma pouco habitual de definir a recta real com base em determinadas propriedades algébricas dos subconjuntos abertos de R. Este exemplo servirá de mote para falar de topologia e ilustrar as ideias básicas da chamada topologia sem pontos, bem como aplicações a áreas da matemática onde por vezes é útil raciocinar construtivamente.

João Boavida, 5º ano da LMAC - Análise, IST
Um Passeio Pouco Aleatório

Normalmente não nos apercebemos como é frequente que fenómenos que em pequena escala são totalmente deterministas se revelem verdadeiramente aleatórios na escala ‘de todos os dias’. Basta pensar na trajectória de um grão de poeira, ou na imagem de um raio nos céus.

Neste seminário vamos descrever o movimento browniano e usá-lo como modelo de ruído em equações diferenciais, o que, como veremos, nos trará algumas surpresas. No final, um passeio curto por Monte-Carlo para explorar algumas propriedades das funções harmónicas.

Patrícia Engrácia, 3º ano da LMAC - Análise, IST
Grupos, Variedades e Relatividade

Os grupos estão muito relacionados com a geometria: há grupos que são espaços geométricos muito ricos e há estruturas geométricas a que podemos associar grupos. Também na física as perspectivas de observadores distintos se relacionam por acção de elementos de grupos.

Neste seminário vamos olhar para alguns exemplos e brincar um pouco com a relatividade de Einstein.

Ricardo Silva, 5º ano da LMAC - Computação, IST
Redes Neuronais

Os computadores actuais conseguem competir com um humano e ter sucesso em algumas áreas específicas (velocidade com que efectuam cálculos fastidiosos, jogos de xadrez, etc...). Contudo existem tarefas para as quais os computadores não parecem talhados. Qualquer criança de 2 ou 3 anos reconhece a cara dos pais, independentemente da distância, ângulo, iluminação, maquilhagem. Esta é uma tarefa complicada para qualquer computador. Na base destas diferencas estão as formas diferentes de funcionar do computador e do cérebro humano. O que podemos esperar se usarmos sistemas computacionais que são baseados no funcionamento do cérebro? Como funcionam esses sistemas?

Pedro Serranho, 5º ano da LMAC - Numérica, Instituto Superior Técnico
Matrizes, Operadores Integrais e Difracção

Considere-se uma função $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Um processo para ver o seu gráfico consiste em tomar pontos $x_1, \dots, x_N$ igualmente espaçados num intervalo $[a,b]$, e definir a matriz $A_{i j} = f(x_i, x_j)$. No Mathematica ® bastará então fazer ListPlot3D[A] --- mas porque não calcular o seu determinante ou os seus valores próprios? Devemos suspeitar que o determinante é quase nulo quando $f$ é contínua?

Este será o ponto de partida para o nosso seminário, onde os operadores integrais serão relacionados com matrizes. Veremos ainda simulações numéricas com equações integrais, relativas a uma aplicação física: a difracção de ondas e a localização de falhas em materiais.

Ricardo Inglês, 2º ano da LMAC, IST
Será que cos(mπ/n) pode ser escrito de forma radical?

Porque não escrever as razões trigonométricas, quando os argumentos destas são escritos sobre Q e em graus, com valores precisos ou, melhor, na forma de raízes? Foi esta pergunta que deu mote ao presente seminário, no qual se pretende retratar a investigação matemática de um estudante que, encontrando resultado atrás de resultado, se deixa embrulhar por estes, e de uma caixa de surpresas retira uma boa quantidade de observações interessantes dentro da área da trigonometria.

Ricardo Gonçalves, 3º ano da LMAC - Computação, IST
O Teorema de Gödel

Será que a Matemática não passa de uma mera manipulação simbólica? Será que existe algum sistema formal capaz de produzir todas as afirmações verdadeiras da Aritmética? Felizmente, para todos os amantes da Matemática, a resposta a estas perguntas é não! Iremos ver como Kurt Gödel chegou a este resultado, e qual o seu impacto dentro e fora da Matemática.

Maria João Resende, 3º ano de Matemática Pura, Universidade do Porto
O Teorema das Cinco Cores

Era uma regra, entre os fabricantes de mapas, que num mapa desenhado numa superfície plana, países adjacentes fossem pintados com cores diferentes; constatava-se que isso era sempre possível usando apenas quatro cores. A demonstração deste facto é muito complexa e exige uma utilização intensiva de computadores. Mas, utilizando apenas mais uma cor, o problema pode ser resolvido com mais facilidade.