Agora vivemos numa nova era, a era quântica! Mas de que forma este novo entendimento do universo influencia o processamento, a aquisição e a transmissão de informação? Agora ouvimos falar em computadores quânticos, mas o que são afinal estas máquinas maravilhosas? Que novo paradigma é este, o da computação quântica? Teremos nós oportunidade de ultrapassar o poder de Turing? Serão agora tratáveis muitos dos problemas cuja resolução apenas sonhámos um dia?

É objectivo deste nosso seminário discutir estas e outras questões, bem como entender melhor o que de novo nos reserva o futuro, talvez mais próximo do que possamos imaginar!

Uma questão que provavelmente nunca nos surgiu diz respeito a distinguir dois nós (por exemplo, determinar se um dado nó é cego). Embora possa parecer um assunto de pouca relevância, é crucial saber se um nó se pode desfazer puxando as extremidades. Imagine-se, por exemplo, se os nós da corda de um alpinista se desfizessem ao esticar a corda...

Em matemática um nó não passa de uma corda em que juntamos os extremos. Neste seminário vamos ver alguns invariantes que permitem distingui-los.

Quando queríamos guardar alguma coisa usávamos os cofres; quando queríamos que uma carta chegasse ao destino sem ser aberta, usávamos lacre; quando queríamos garantir que um destinatário recebia uma carta, enviávamo-la com aviso de recepção.

Hoje em dia, no mundo em que vivemos, será possível ter segurança? Podemos ter um cofre na Internet para guardar dinheiro virtual? Podemos assinar documentos virtuais sem que ninguém falsifique a nossa assinatura? Podemos enviar e-mails lacrados? Podemos enviar e-mails com aviso de recepção?

Estas e outras questões serão abordadas neste seminário.

Será possivel que duas pessoas lancem uma moeda ao ar ao telefone? Poderá isto ser feito sem que a pessoa que escolhe cara ou coroa, no caso de perder, não duvide nem um pouco da honestidade do lançamento? Neste seminário veremos qual a solução para este problema e até que ponto é fiável.

Na sequência do seminário anterior, vamos ainda ver o que é um algoritmo de encriptação de chave pública, isto é, um algoritmo em que tanto a chave como o próprio algoritmo são públicos. Por fim, veremos o que é e como funciona o algoritmo RSA, tão amplamente difundido.

Normalmente não nos apercebemos como é frequente que fenómenos que em pequena escala são totalmente deterministas se revelem verdadeiramente aleatórios na escala ‘de todos os dias’. Basta pensar na trajectória de um grão de poeira, ou na imagem de um raio nos céus.

Neste seminário vamos descrever o movimento browniano e usá-lo como modelo de ruído em equações diferenciais, o que, como veremos, nos trará algumas surpresas. No final, um passeio curto por Monte-Carlo para explorar algumas propriedades das funções harmónicas.

Os grupos estão muito relacionados com a geometria: há grupos que são espaços geométricos muito ricos e há estruturas geométricas a que podemos associar grupos. Também na física as perspectivas de observadores distintos se relacionam por acção de elementos de grupos.

Neste seminário vamos olhar para alguns exemplos e brincar um pouco com a relatividade de Einstein.

Considere-se uma função $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Um processo para ver o seu gráfico consiste em tomar pontos $x_1, \dots, x_N$ igualmente espaçados num intervalo $[a,b]$, e definir a matriz $A_{i j} = f(x_i, x_j)$. No Mathematica ® bastará então fazer ListPlot3D[A] --- mas porque não calcular o seu determinante ou os seus valores próprios? Devemos suspeitar que o determinante é quase nulo quando $f$ é contínua?

Este será o ponto de partida para o nosso seminário, onde os operadores integrais serão relacionados com matrizes. Veremos ainda simulações numéricas com equações integrais, relativas a uma aplicação física: a difracção de ondas e a localização de falhas em materiais.