No início do século XX, alguns matemáticos ambicionavam pôr a matemática sobre uma funação o mais sólida possível. Vários sistemas axiomáticos foram propostos, mas o que acabou por se tornar "canónico" foi o sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel, mais axioma da escolha. Isto é normalmente referido como ZFC. Na realidade, a formulação original (ZF) não tinha o axioma da escolha. Tomar este axioma como verdadeiro leva a conclusões contra-intuitiuvas, mas muitos teoremas de aparência autoevidente não podem ser provados somente com ZF.

Isto parece referente a assuntos extremamente abstratos e teóricos, mas nesta palestra tenciona-se mostrar que não é preciso enunciados super complexos e teóricos para que estas questões sejam relevantes: é tão fácil como dar chapéus a infinitos matemáticos.

Desde sempre que os matemáticos se preocupam com medir ou calcular o “tamanho” dos objetos e também há muito tempo se sabe que o “tamanho” está intrinsecamente relacionado com a dimensão. Por exemplo, uma linha (dimensão 1) tem comprimento positivo, mas tem área e volume zero. Um quadrado (dimensão 2) por outro lado, tem uma área positiva, mas tem volume zero. Porém, a natureza está repleta de conjuntos estranhos, como é o caso do triângulo de Sierpinski que tem perimetro infinito e área zero! Qual é então a dimensão deste objeto? Para responder a esta pergunta é necessário dar uma nova definição de dimensão, esta tem o nome em honra de Felix Hausdorff.

A geometria algébrica é uma área da matemática que permite aliar o caráter abstrato da álgebra com a natureza mais concreta e palpável da geometria e desta maneira conseguir transformar problemas algébricos muito complicados em problemas geométricos mais fáceis de visualizar. Porém, o caminho inverso também é interessante: dado um dilema geométrico como o estudo de curvas no plano, será que a álgebra poderá revelar algo mágico sobre o nosso objeto de estudo? É esta a visão que tentaremos usar nesta apresentação: partindo do problema de determinar se uma curva algébrica tem pontos racionais, veremos como naturalmente chegaremos às curvas elípticas: uma classe de curvas que, apesar do aspeto enganadoramente simples, aparecem de forma inesperada pela matemática.

Os números primos são elementos da Matemática bastante importantes em inúmeras áreas e a sua procura pelos números naturais trata-se de uma das tarefas mais difı́ceis da teoria de números.

O objetivo deste seminário é começar por analisar o postulado de Bertrand, que diz que existe sempre um primo entre $n$ e $2n$, $n\in\mathbb{N}$, vendo depois algumas aplicações, de forma a iniciar o caminho das grandes conjeturas da teoria de números.