A geometria algébrica é uma área da matemática que permite aliar o caráter abstrato da álgebra com a natureza mais concreta e palpável da geometria e desta maneira conseguir transformar problemas algébricos muito complicados em problemas geométricos mais fáceis de visualizar. Porém, o caminho inverso também é interessante: dado um dilema geométrico como o estudo de curvas no plano, será que a álgebra poderá revelar algo mágico sobre o nosso objeto de estudo? É esta a visão que tentaremos usar nesta apresentação: partindo do problema de determinar se uma curva algébrica tem pontos racionais, veremos como naturalmente chegaremos às curvas elípticas: uma classe de curvas que, apesar do aspeto enganadoramente simples, aparecem de forma inesperada pela matemática.