2000seminários

Hugo Tavares, 3º ano de Matemática FCUL
A unicidade de solução de uma equação não linear

No estudo das equações diferenciais não lineares com condições de fronteira, em geral é difícil deduzir a unicidade da solução. Este seminário é o resultado do estudo de um célebre artigo de M.K. Kwong (1989), onde se estabelece um tal teorema de unicidade.

Vamos dar uma ideia de como se resolve o problema e mostrar que, talvez surpreendentemente, os requisitos para efectuar essa prova são muito poucos, apesar da complexidade de algumas definições.

Ricardo Joel, 3º ano da LMAC, IST
O Grupo Fundamental

À primeira vista pode parecer uma observação trivial que uma superfície esférica é essencialmente diferente de um toro (a superfície de um donut). No entanto, como é que podemos distinguir de forma concreta aqueles dois objectos? E como encontrar ideias matemáticas que façam essa distinção?

A topologia algébrica vem em nosso auxílio para responder a questões desta natureza e neste seminário vamos descobrir algumas potencialidades de uma das suas ferramentas mais simples e importantes: o grupo fundamental.

João Pina, 5º ano da LEC, IST
Wavelets

As Wavelets são funções complexas com origem numa simples e elegante construção matemática. Translações e dilatações de uma função mãe permitem representar qualquer tipo de função. Assim, como que um "upgrade" da análise harmónica, retêm informação tanto no domínio do tempo como da frequência. Ao serviço do FBI reduziram 20 vezes o arquivo de impressões digitais e têm sido utilizadas em áreas tão distintas como o processamento de imagens, "noise cleaning", equações diferenciais ou análise de estruturas.

Andreia Hortence Gomes, 2º ano da LMAC, IST
Será possível ouvir a forma de um tambor?

O som de um tambor caracteriza-se por um conjunto de frequências particulares de vibração que dependem da sua geometria. Mas poder-se-á responder à questão inversa? Isto é, será que se conhecermos as frequências de vibração de um tambor, poderemos determinar a sua forma? Ou existirão dois tambores de formas diferentes com o mesmo som? Neste seminário vamos ver como podemos responder a estas perguntas, que já se fazem desde há cerca de cem anos.

Sérgio Marcelino, 3º ano da LMAC, Instituto Superior Técnico
Como somar pontos em curvas elípticas?

O estudo de curvas elípticas é fundamental na matemática moderna: na teoria de números, na famosa demonstração do último teorema de Fermat por Andrew Wiles e até na criptografia. Estamos habituados a desenhar curvas no plano do tipo \[y^2=x^3+ax+b.\] Mas será que conseguimos achar inteiros ou racionais $x$ e $y$ tais que $(x,y)$ está sobre a curva? O que podemos saber sobre estes pontos especiais? Serão finitos? Estudaremos uma “soma natural” definida nestes pontos e exploraremos algumas das suas consequências.

Jorge Vitória, 2º ano de Matemática, UP
Decisão de primalidade: a inovação polinomial

Há séculos que os números primos são alvo de um enorme fascínio e uma fonte inesgotável de resultados. No entanto, uma questão sempre se colocou: como distingui-los dos números compostos de forma eficiente? Haverá um algoritmo capaz de o fazer em tempo polinomial? A resposta (afirmativa) viria a ser dada por três matemáticos indianos no ano de 2002... Apresentar a solução algorítmica deste problema e clarificar a inovação trazida por este resultado é o objectivo desta apresentação.

Joana Santos, 2º ano da LMAC, Instituto Superior Técnico
Muito Complexa, Muito Linear

A transformação de Möbius, $M(z)=(az+b)/(cz+d)$, é uma aplicação entre números complexos com propriedades muito interessantes e bastantes aplicações, não só na Análise Complexa, mas também em áreas tão diversas como a Geometria não Euclidiana e a Teoria da Relatividade de Einstein.

Nesta apresentação o objectivo principal será perceber como esta aplicação, também chamada transformação homográfica, bilinear ou linear fraccional, actua sobre os pontos do plano e ver de que forma uma representação matricial traz para o mundo complexo as mais valias da Álgebra Linear.