No estudo das equações diferenciais não
lineares com condições de fronteira, em geral
é difícil deduzir a unicidade da
solução. Este seminário é o resultado
do estudo de um célebre artigo de M.K. Kwong (1989), onde se
estabelece um tal teorema de unicidade.
Vamos dar uma ideia de como se resolve o problema e mostrar que,
talvez surpreendentemente, os requisitos para efectuar essa prova
são muito poucos, apesar da complexidade de algumas
definições.
À primeira vista pode parecer uma
observação trivial que uma superfície
esférica é essencialmente diferente de um toro (a
superfície de um donut). No entanto, como é que
podemos distinguir de forma concreta aqueles dois objectos? E como
encontrar ideias matemáticas que façam essa
distinção?
A topologia algébrica vem em nosso auxílio para
responder a questões desta natureza e neste seminário
vamos descobrir algumas potencialidades de uma das suas ferramentas
mais simples e importantes: o grupo fundamental.
As Wavelets são funções complexas com origem
numa simples e elegante construção matemática.
Translações e dilatações de uma
função mãe permitem representar qualquer tipo
de função. Assim, como que um "upgrade" da
análise harmónica, retêm
informação tanto no domínio do tempo como da
frequência. Ao serviço do FBI reduziram 20 vezes o
arquivo de impressões digitais e têm sido utilizadas
em áreas tão distintas como o processamento de
imagens, "noise cleaning", equações diferenciais ou
análise de estruturas.
O som de um tambor caracteriza-se por um conjunto de
frequências particulares de vibração que
dependem da sua geometria. Mas poder-se-á responder à
questão inversa? Isto é, será que se
conhecermos as frequências de vibração de um
tambor, poderemos determinar a sua forma? Ou existirão dois
tambores de formas diferentes com o mesmo som? Neste
seminário vamos ver como podemos responder a estas
perguntas, que já se fazem desde há cerca de cem
anos.
O estudo de curvas elípticas é fundamental na matemática moderna: na teoria de números, na famosa demonstração do último teorema de Fermat por Andrew Wiles e até na criptografia. Estamos habituados a desenhar curvas no plano do tipo \[y^2=x^3+ax+b.\] Mas será que conseguimos achar inteiros ou racionais $x$ e $y$ tais que $(x,y)$ está sobre a curva? O que podemos saber sobre estes pontos especiais? Serão finitos? Estudaremos uma “soma natural” definida nestes pontos e exploraremos algumas das suas consequências.
Há séculos que os números primos são
alvo de um enorme fascínio e uma fonte inesgotável de
resultados. No entanto, uma questão sempre se colocou: como
distingui-los dos números compostos de forma eficiente?
Haverá um algoritmo capaz de o fazer em tempo polinomial? A
resposta (afirmativa) viria a ser dada por três
matemáticos indianos no ano de 2002... Apresentar a
solução algorítmica deste problema e
clarificar a inovação trazida por este resultado
é o objectivo desta apresentação.
A transformação de Möbius, $M(z)=(az+b)/(cz+d)$, é uma aplicação entre números complexos com propriedades muito interessantes e bastantes aplicações, não só na Análise Complexa, mas também em áreas tão diversas como a Geometria não Euclidiana e a Teoria da Relatividade de Einstein.
Nesta apresentação o objectivo principal será perceber como esta aplicação, também chamada transformação homográfica, bilinear ou linear fraccional, actua sobre os pontos do plano e ver de que forma uma representação matricial traz para o mundo complexo as mais valias da Álgebra Linear.