O problema da quadratura do círculo consiste em, dado um círculo, construir usando régua e compasso um quadrado com a mesma área. Surgido há cerca de 2000 anos na Grécia Antiga, foi estudado por grandes nomes da matemática como Anaxágoras e Ramanujan. Este seminário será uma conversa sobre este problema, onde mostraremos como resolvê-lo utilizando os números construtiveis e os números algébricos.

Considere-se um sistema que pode encontrar-se num de $n$ estados distintos, entre os quais pode transitar ocasionalmente. Qual será uma forma compacta de codificar esta informação? A dinâmica simbólica e a ideia de palavras admissíveis oferecem uma resposta a esta questão. Iremos ver como alguns grupos de funções surgem naturalmente neste contexto e como, ao passarmos do mundo das palavras para o intervalo $[0,1)$, obtemos generalizações do conhecido grupo de Thompson.

Imaginemos que temos uma fila de sujeitos embriedagos que se movem aos saltos numa rua onde, em cada um dos extremos, existe um bar aberto. Restringindo os seus movimentos com regras que iremos definir, queremos obter alguma informação, quando o tempo for para infinito, sobre a função que nos dá a probabilidade de vermos uma dada "distribuição" dos bêbados na nossa rua. Para isso, iremos considerar um problema auxiliar, que chamaremos processo dual, o qual simplificará o que queremos obter, mapeando o problema original para questões de cálculo de probabilidades de absorção. Estas vão ser obtidas através da resolução de sistemas de equações lineares que estão relacionadas com versões discretas de uma famosa equação - a equação de Laplace.