In this talk, I will introduce and motivate a visual way to represent differential forms and explain how some usual operations are interpreted in this framework, and with it visually ‘prove’ the Stokes theorem. As an example of application, I will relate it to deRham cohomology and show how it can be used to furnish a rigorous proof of the Poincaré lemma.

Dois amigos desenham um grafo G, colocam um marcador sobre um vértice e vão jogar um jogo. Um deles toma o papel de Explorador e a cada turno escolhe uma distância, o outro – no papel de Diretor – move então o marcador para um vertíce a essa distância. Aqui o objetivo do Explorador é maximizar o número de vértices visitados e o do Diretor é minimizar este número.

Qual é o número de vértices visitado se ambos os jogadores fizerem as melhores jogadas possíveis?

Originalmente este jogo foi definido – e resolvido – apenas para grafos cíclicos como uma reformulação de um problema em ciência da computação. O que é que conseguimos descobrir para outras classes de grafos?

Hoje em dia, a velocidade a que se produzem dados é alucinante, e como seria de esperar os métodos que temos para os analisar não estão a acompanhar… Dito isto, já dispomos de ferramentas verdadeiramente engenhosas e úteis! Assim, neste seminário, o objetivo será introduzir uma destas engenhocas que surge no âmbito da Análise de Dados Topológica (ADT), a chamada Homologia Persistente.

Em ADT, fazemos questões como: “Que forma têm estes dados?”, “Quantas aglomerações apresentam?” e “Se de facto têm uma geometria reconhecível, qual o seu significado?”. Ao respondermos a estas questões, veremos como a Topologia Algébrica, uma disciplina pura por excelência, é capaz de ser aplicada a problemas concretos e tangíveis, como por exemplo, o diagnóstico de doenças. Enfim… Quem nunca quis ver a forma de uma sala através da matemática do cérebro de um rato?

Neste seminário muito diagonal, vamos ver que os Reais se calhar nem são assim tão "reais" como pensamos. Porquê? Vamos ver que não podemos falar sobre a vasta maioria dos números reais, o que tem algumas implicações curiosas.

Mas sobre que reais podemos falar então? Esta questão pode parecer simples, mas para lhe responder vamos ter de navegar pelo mundos da Lógica, Computação, Teoria de Conjuntos e Meta-matemática e explorar os limites daquilo que nós conseguimos fazer enquanto matemáticos.

Neste seminário é apresentado um modelo de computação Digital Analógico, com acesso a canhões de partículas, no qual o mundo real é usado para resolver tarefas que um computador normal pode não conseguir efetuar em tempo finito.

Será que podemos sempre cortar um polígono em peças mais pequenas
e colá-las de outra maneira de modo a obter outro polígono com
a mesma área? E se em vez de polígonos fizéssemos a mesma questão
para poliedros com o mesmo volume? Neste seminário vamos resolver
estas questões e explorar a noção de congruência por tesoura.