Como se poderá representar geometricamente um processo eleitoral? O que terá um dodecaedro rômbico (o que é um dodecaedro rômbico??) a ver com partidos e deputados? E ainda como é que $\delta$-cubos martelados aparecem no meio de tudo isto? Ou, mais genericamente, como de uma inocente curiosidade matemática se pode extrair uma quantidade de factos interessantes, divertidos e perfeitamente inúteis.

Qualquer superfície compacta é homeomorfa (pode ser deformada) a uma esfera, à soma conexa de toros (uma esfera com buracos), ou à soma conexa de planos projectivos (que não existe nas nossas corriqueiras três dimensões) de que a garrafa de Klein é um exemplo. Com muitos desenhos, “tesoura” e “cola”, vamos cortar nuns sítios e colar noutros até demonstrar este teorema.

Um polícia foi destacado para controlar vários cruzamentos. Foi-lhe ordenado que, ao fim de um certo tempo num dado cruzamento, passe de forma aleatória para um dos cruzamentos vizinhos. Qual será a probabilidade de encontrar o polícia num dado cruzamento ao fim de algum tempo? As cadeias de Markov ajudarão a resolver o problema...

Dois gémeos são separados no seu 20º aniversário; um fica na Terra, o outro viaja a uma velocidade próxima da velocidade da luz em direcção a um planeta situado a 8 anos-luz e regressa. Que idade terá quando regressar? Terá a mesma idade que o gémeo que ficou na Terra? E que relação tem isto tudo com o Grupo de Möbius?

Existem dois tipos de criptografia neste mundo: criptografia que impede a nossa irmã mais nova de ler os nossos ficheiros e criptografia que impede os mais poderosos governos mundiais de os lerem. Neste seminário falaremos sobre o último... Veremos como se processa o envio de uma mensagem utilizando um algoritmo híbrido (RSA+RC4) com assinatura digital (muito utilizado actualmente) e qual a ideia existente por detrás dos dois grandes tipos de criptografia: chave pública e chave privada.

Não é possível ver o hipercubo $[0,1{]}^4$, nem um hiperplano de ${ℝ}^4$. Contudo a sua intersecção é um poliedro convexo, um objecto tridimensional. Como serão, então, essas intersecções? Neste seminário mostrar-se-á como se pode resolver este problema.

Vamos neste seminário abordar as aparentes contradições lógicas de enigmas com auto-referência e a forma de conseguirmos livrar-nos delas. "Dizes a verdade ou mentes?", "Qual a aldeia dos mentirosos?" e "Será que a testemunha cometeu perjúrio?" são perguntas e enigmas aos quais pretendemos responder e esclarecer por exemplos. Vendo bem, se nos disserem "Se mentires morres enforcado, se disseres a verdade morres afogado" é bom que saibamos que resposta dar para não morrer. E já que é a nossa vida que está em jogo, porque não usar a matemática?