Qualquer superfície compacta é homeomorfa (pode ser deformada) a uma esfera, à soma conexa de toros (uma esfera com buracos), ou à soma conexa de planos projectivos (que não existe nas nossas corriqueiras três dimensões) de que a garrafa de Klein é um exemplo. Com muitos desenhos, “tesoura” e “cola”, vamos cortar nuns sítios e colar noutros até demonstrar este teorema.