Todos conhecem os cinco axiomas propostos por Euclides, dos quais se deveria poder deduzir toda a geometria. O quinto axioma, o postulado das paralelas, gerou muita controvérsia e só no século XIX foi finalmente demonstrado ser independente dos restantes quatro. Constatou-se então que este podia ser substituído por uma das suas negações, obtendo novos tipos de geometria: esférica e hiperbólica. Surgem então novas dúvidas, a algumas das quais tentaremos responder neste seminário: Como são as linhas rectas nestas novas geometrias? Os ângulos internos dos triângulos ainda somam 180º? Que tipos de isometrias existem?