Sabemos traçar a mediatriz de um segmento ou a bissetriz de um ângulo apenas com uma régua não graduada e um compasso. Mas e se quisermos trissectar um ângulo, duplicar o volume de um cubo, ou construir um quadrado com a mesma área que um círculo qualquer dado? Estes três célebres problemas permaneceram em aberto desde o século V a.C. até ao século XIX. Neste seminário, utilizaremos artilharia da teoria de corpos para demonstrar que não é possível realizar nenhuma destas três construções.

How many prime numbers are there in a sequence of the form $x_0=x$ and $x_{n+1}=f(x_n)$, where $f$ is a polynomial? What does this have to do with Galois theory or even with Markov chains? In this talk, we present an arboreal-type representation as a tool to find primes in polynomial sequences. To achieve the main goal, first we will recall the basics of Galois theory and the concept of regular rooted trees. Then, we state the Chebotarev Density theorem to build a bridge from the Galois groups to the factorization of polynomials in finite fields. In the end, we present a Markov model to study factorization of iterations of cubic polynomials.